Il faut laisser name="ajouter_mot[]" dans les 2 boucles, pour que le serveur récupère bien un tableau de toutes les valeurs cochées en cas de bouton multiple. Autrement le in_any un peu plus loin ne portera pas sur un tableau, et ce sera la cata.

+ il n'est pas indispensable que les attributs name et id aient le même nom (ce n'est qu'une habitude, pas une recommandation). Ils seront donc différents pour ce formulaire.